IV Jornada Academica

Apresentação 1

Título: A Fórmula da Coárea de Federer

Discente: José Túlio Vinícius Prado Cruz (Iniciação Científica)

Orientador: Marcelo Fernandes de Almeida

Resumo: Em 1959, num artigo intitulado Curvature Measures, Herbert Federer (1920-2010) obteve um resultado, conhecido como fórmula da coárea, relacionando a integral do Jacobiano de uma aplicação de Lipschitz entre variedades Riemannianas e a integração dos “comprimentos” das fibras com respeito à medida de Hausdorff. Este é um resultado fundamental em Teoria Geométrica da Medida e admite generalizações para o contexto de espaços de Sobolev e espaços BV. Nesta palestra, discutiremos o caso particular da coárea em espaços Euclidianos e veremos algumas consequências importantes, como o Teorema de Fubini e a integração em coordenadas polares.

Apresentação 2

Título: Orbitando o Sistema Solar

Discente: Jéssica Montalvão Etinger Alves (Iniciação Científica)

Orientador: Gerson Cruz Araujo

Resumo: A palestra tem como propósito expor um simples informativo sobre as maravilhas do universo, com o intuito de discutir desde a observação do céu até a jornada pelo Sistema Solar. Apresentaremos como a Matemática se entrelaça com o mundo da Astronomia por meio das leis de Kepler e Newton. Kepler desvendou as órbitas dos planetas, e Newton mostrou como a gravidade mantém tudo em harmonia. Essas ideias básicas são o ponto de partida para nossa aventura peloespaço.

Nesse contexto, a Astronomia nos leva à exploração do céu e eventos celestiais, onde a desafiadora diferença entre estrelas e planetas a olho nu é desvendado pela cintilação das primeiras e pela estabilidade dos últimos. Com a introdução do conceito de ano-luz como medida essencial, entramos em reflexões sobre as grandes distâncias no universo. Isso nos permite ver eventos que aconteceram há muito tempo, especialmente quando observamos estrelas distantes.

Ao analisar a influência da teoria da relatividade geral de Einstein, onde a gravidade e a velocidade interferem no fluxo do tempo, a transição para a órbita dos corpos celestes destaca-se a gravidade como uma deformidade no tecido espaço-tempo. Nesse cenário, Kepler, desde o século XVI, munido das observações precisas de Tycho Brahe, revolucionou a compreensão das órbitas planetárias com suas leis fundamentais. Tais leis, por sua vez, abrem caminho para Isaac Newton, cuja Lei da Gravitação Universal harmoniza a Matemática com a Astronomia, prevendo trajetórias celestiais com sucesso, que até hoje é abordada. Enfim, dessa jornada estelar, guiada por leis matemáticas e observações meticulosas, destaca-se a maravilha e complexidade da investigação humana sobre os mistérios do universo.

Apresentação 3

Título: Trajetórias ótimas: uma jornada através do Cálculo Variacional via Braquistócrona

Discente: Keity Murielly de Jesus Andrade (Iniciação Científica)

Orientador: Gerson Cruz Araujo

Resumo: O cálculo variacional é um ramo da matemática que se ocupa com o estudo de problemas de otimização de funcionais, buscando encontrar funções que minimizem ou maximizem determinadas quantidades expressas por integrais. Na palestra exibiremos os conceitos fundamentais desse ramo, em seguida apresentaremos algumas aplicações na mecânica clássica, como o problema da Braquistócrona e o Princípio de Hamilton. No tocante ao problema da Braquistócrona, determinaremos a curva ao longo da qual um objeto irá deslizar de um ponto a outro no menor tempo possível, apenas sob a influência da gravidade. Ademais, veremos o Princípio de Hamilton, o qual associa equações que governam a dinâmica clássica aos extremos da integral de um funcional da trajetória. Esta integral é conhecida como ação e o funcional correspondente, a Lagrangeana.

Apresentação 4

Título: O teorema de Ostrowski

Discente: Rafael Fagundes Bitencourt Silva (Iniciação Científica)

Orientador: Cayo Rodrigo Felizardo Dória 

Resumo: Ao se analisar a completude do corpo dos reais, bem como a do corpo dos números p-ádicos, uma dúvida surge naturalmente: de quais formas é possível completar o corpo dos racionais? Para responder essa pergunta, mostraremos, utilizando de conceitos e resultados auxiliares previamente apresentados, um resultado impressionante e principalmente belo, o teorema de Ostrowski, que nos fornece uma caracterização precisa das normas sobre os racionais.

Apresentação 5

Título: O teorema da reciprocidade quadrática

Discente: Francisco Mota Pereira Neto (Iniciação Científica)

Orientador: Cayo Rodrigo Felizardo Dória

Resumo: Ao analisar as tabelas multiplicativas de resíduos módulo p, sendo p um primo, nota-se que ao dividir um quadrado perfeito por p, alguns restos não são possíveis. Por exemplo: não existem quadrados perfeitos que restam 2 na divisão por 3. Em outras palavras, não há quadrados perfeitos da forma 3n+2, em que n é um inteiro. A partir dessa observação, é natural perguntar-se: dado um conjunto de números inteiros da forma pn + b, com p sendo um primo e b um inteiro positivo ou nulo e n um inteiro qualquer, como saber se a ele pertencem quadrados perfeitos? O teorema da reciprocidade quadrática, que será apresentado nessa palestra, nos serve como uma poderosa ferramenta para responder essa pergunta para casos particulares, e nos mostra como a existência de quadrados perfeitos da forma pn+q está relacionada com a existência de quadrados perfeitos da forma qn+p, sendo p e q primos distintos maiores que 2 e n um inteiro qualquer. Conjecturado pelos grandes matemáticos Adrien-Marie Legendre e Leonhard Euler e provado pela primeira vez por Carl Frederich Gauss, que o chamou de “Teorema fundamental da aritmética avançada” e “O teorema de ouro”, o teorema da reciprocidade quadrática é de vital importância para a teoria dos números.

Apresentação 6

Título: Um Estudo Introdutório sobre Geometria Projetiva: Teoremas de Papus e Desargues

Discente: Lucas Querino Borel de Almeida (Iniciação Científica)

Orientador: Wilberclay Gonçalves Melo 

Resumo: Este trabalho apresenta um estudo introdutório acerca da Geometria Projetiva, trazendo como tópicos principais o Plano Projetivo RP2, uma relação entre S2 e RP2, Retas Projetivas, Incidência, Geometria Afim, Colineações, Teorema Fundamental da Geometria Projetiva e Teoremas de Papus e Desargues. Mais precisamente, começamos estabelecendo uma motivação ao nosso estudo e definindo o plano projetivo, por entender quem são os elementos que fazem parte deste mesmo. Logo após, apresentamos uma determinada relação entre o plano projetivo RP2 e a esfera S2. Dada esta mesma, somos capazes de construir uma relação biunívoca de tal forma que muitos dos conceitos que serão vistos hão de ser oriundos desta correspondência. Além disso, definimos o que são as retas projetivas e o conjunto que as contém. Buscando compreender a Geometria Projetiva de tal maneira como compreendemos a Geometria Euclidiana, trabalhamos resultados que estudam informações voltadas a incidência, tanto entre pontos e retas, como também entre retas. Dando continuidade ao nosso trabalho, partimos para o estudo da Geometria Afim, entendo-a como um caso particular da Geometria Projetiva. Para tanto, apresentamos o conceito de Plano Afim e estabelecemos uma forte relação entre as retas Euclidianas e as retas afins, por meio de uma identificação natural. Posteriormente, conceituamos uma Colineação, que de forma mais geral, é uma aplicação biunívoca que preserva colinearidade, e mostramos sua forte ligação com isomorfismos. Em adição, trabalhamos resultados que permitem construir essas mesmas colineações, considerando certas condições. Logo após, apresentamos e provamos o Teorema Fundamental da Geometria Projetiva, o qual nos diz que uma colineação é induzida por um operador linear invertível. Por fim, considerando todos os conceitos e resultados construídos, demonstramos os Teoremas de Papus e Desargues.

Apresentação 7

Título: Cálculo fracionário aplicado a equação de Difusão

Discente: Laryssa Santos Theodoro (Iniciação Científica)

Orientador: Giovana Siracusa Gouveia

Resumo: Este trabalho aborda o cálculo fracionário e sua aplicação na equação de difusão. Inicialmente, é feita uma revisão sucinta sobre a equação de difusão clássica e os fundamentos do cálculo fracionário. Em seguida, discute-se como o cálculo fracionário pode ser empregado na generalização da equação de difusão, permitindo uma descrição mais precisa de fenômenos difusivos mais complexos (subdifusivos e superdifusivos). São apresentados estudos de caso e simulações numéricas que demonstram a capacidade do cálculo fracionário em capturar e modelar efetivamente esse tipo de difusão.

Apresentação 8

Título: Modelo fracionário para a taxa de aprendizado

Discente: Amanda Fernandes (Iniciação Científica)

Orientador: Arlucio da Cruz Viana

Resumo: O modelo de taxa de aprendizado é um modelo baseado no Princípio fundamental da Psicologia Cognitiva, em que diz que a taxa no qual o cérebro humano aprende uma certa quantidade de conhecimento é proporcional à quantidade de conhecimento ainda a ser aprendida, esse princípio é chamado de lei da tábula rasa, que pressupõe que a mente humana começa como uma lousa em branco, na qual o conhecimento vem inicialmente através da experiência. O objetivo do nosso trabalho foi estudar o modelo de taxa de aprendizado convencional, fracionário local e fracionário não local para encontrar soluções para as equações diferenciais obtidas para cada modelo. O trabalho foi baseado no artigo “A fractional rate model of learning”, (Fract. Differ. Cal, v.6, n.2, p.281-292, 2016). Inspirado nele trabalhamos em mais dois modelos, ambos considerando um delay no fator perda de conhecimento, que significa o atraso entre o tempo atual e o decorrido para o qual você começa perder o conhecimento adquirido, totalizando seis modelos para taxa de aprendizado, considerando constantes essenciais para um modelo mais realista, dentre elas, fator inteligência, perda de conhecimento e a taxa de inteligência. Através da Transformada de Laplace e da separação de variáveis obtivemos as soluções dos casos convencionais, fracionários não local, local e com delay.

Apresentação 9

Título: Teoria de sizígias

Discente: Igor de Santana lopes (Iniciação Científica)

Orientador: Zaqueu A. Ramos

Resumo: Uma generalização natural do conceito de espaço vetorial é a de módulo. Enquanto um espaço vetorial os escalares são elementos em um corpo, na definição de módulo supomos apenas que os escalares são elementos em um anel. Essa flexibilização sob o anel de escalares abre as portas para uma teoria muito mais complexa e desafiadora. Parte substancial da dificuldade vem da existência de módulos onde qualquer conjunto de geradores satisfazem relações lineares não triviais, ou seja, não possuem base. Essas relações lineares não triviais são denominadas de sizígias do módulo com respeito ao conjunto de geradores dado. O módulo gerado pelas sizígias é denominado de módulo de sizígias.

Apresentação 10

Título: NEUROMATEMÁTICA: O desenvolvimento de Mentalidades Matemáticas e a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud

Discente: Layane de Jesus Rocha (Iniciação Científica)

Orientador: Fabrício de Oliveira Lima 

Resumo: O objetivo principal deste trabalho é apresentar a estudantes de graduação em matemática a importância de compreender o processo de formação dos estudantes e visa ofertar uma visão a partir da análise dos autores Jo Boaler e Gérard Vergnaud sobre os processos de construção do conhecimento e como os estímulos positivos podem acarretar mudanças significativas no comportamento cerebral e no que concerne ao desenvolvimento da aprendizagem significativa. Além disso, serão usadas ferramentas para que os integrantes desenvolvam o senso numérico possibilitando o aperfeiçoamento técnico e aproximando o discente universitário do âmbito escolar transformador e inovador. Os ouvintes conhecerão o mundo de Mentalidades Matemáticas e observarão as relações entres os dois autores, perpassando por diversas temáticas relacionadas.

Apresentação 11

Título: Modelo de amadurecimento de Ostwald em cristais cúbicos por equações diferenciais ordinárias

Discente: Breno Vieira da Silva Passos (Iniciação Científica)

Orientador: Arlúcio da Cruz Viana

Resumo: O amadurecimento de Ostwald é um fenômeno que afeta as partículas dispersas em uma suspensão coloidal. A diferença de solubilidade entre partículas de tamanhos distintos causa dissolução das partículas menores com possível redeposição do material na superfície de partículas maiores. No longo prazo, todas as partículas se dissolvem ou todas as restantes convergem para um mesmo tamanho. Estudamos um sistema formado por cristais cúbicos dispersos em uma solução supersaturada, modelado através de um Problema de Valor Inicial com n equações diferenciais ordinárias autônomas de primeira ordem. Demonstramos a existência e unicidade da solução para todas as condições iniciais no domínio e alguns resultados sobre seus intervalos maximais de existência e seu comportamento assintótico.

Apresentação 12

Título: Critério de Wiener e potenciais de Wolff-Hedberg elíptico e parabólico

Discente: Edilson Pereira dos Santos Filho (Mestrado)

Orientador: Marcelo Fernandes

Resumo: O critério de Wiener é um resultado primordial no estudo de regularidade na fronteira do problema de Dirichlet associado ao laplaciano. Este foi o primeiro resultado que caracteriza geometricamente quais as condições para que a solução do problema de Dirichlet, associado ao laplaciano, assuma valores na fronteira de maneira contínua. Visando estender o critério para conjuntos quaisquer, nasce o conceito de conjuntos finos. Como este resultado foi demonstrado apenas para o caso linear, este trabalho tem como objetivo inicial estender o critério de Wiener para o caso não-linear utilizando o conceito de conjuntos finos para o potencial não-linear de Wolff-Hedberg.

Alcançado este primeiro objetivo nos perguntamos se seria possível adaptar esta abordagem para a problema de Dirichlet associado a equação do calor clássica. Se sim, teríamos uma nova forma de caracterizar conjuntos finos para a equação do calor. Mostramos que a abordagem utilizada é válida e conseguimos um resultado equivalente ao caso elíptico do critério de Wiener utilizando o conceito de conjuntos finos, de maneira que este resultado resgata os resultados clássicos do problema do calor.

Apresentação 13

Título: Sobre hipersuperfícies com curvatura média constante e índice finito

Discente: Ian Rodrigues dos Santos (Doutorado)

Orientador: Marcos Petrucio de A. Cavalcante

Resumo: Discutimos a compacidade de hipersuperfícies completas M^n com curvatura média constante diferente de zero e índice finito em dimensões n ≥ 3 imersas em variedades Riemannianas com curvatura seccional não-negativa e a completude desta hipersuperfície em uma métrica conforme. Estabelecemos condições sobre a segunda forma fundamenta sem traço para implicar que M é compacta na métrica padrão induzida pelo ambiente e completa na métrica conforme.

A Escola de Verão em Matemática é realizada ininterruptamente desde 2012, e é promovida pelo Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFS, sendo um dos principais eventos em Matemática de Sergipe. Desde de 2015 tem sido realizada a sessão "Jornada Acadêmica", dentro da Escola de Verão. Esta sessão tem como objetivo dar oportunidade aos discentes de mostrarem seus trabalhos de pesquisa em matemática e temas correlatos. 

Diante disto, convidamos os discentes da UFS a submeterem resumos de trabalhos relacionados a matemática, para apresentação de trabalhos na Jornada Acadêmica. As apresentações ocorrerão no formato oral e será presencial.

As inscrição deverão ser realizadas até o dia 19/02/2024 através do link: https://forms.gle/rGqf73YLQqqecDkF9

Acesse aqui o modelo do resumo no formato .tex.